Mahir Menggunakan Kemampuan Matematika

Contoh 4.2

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di

(2, - 1)

dengan jari-jari

\sqrt[3]{2}

2. Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T

(3, - 4)

dan menyinggung garis 4x - 3y - 49 = 0
Jawab :
1. Persamaan lingkaran standar

{(x - a)}^{2} + {(x - b)}^{2} = I^{2}

Untuk pusat

(2, - 1)

dengan jari-jari

\sqrt[3]{2}

, diperoleh

{(x - 2)}^{2} + {(y - (- 1))}^{2} = {(\sqrt[3]{2})}^{2} \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 18

Jadi, persamaan lingkarannya adalah

{(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 18

2. Rumus jarak dari titik T

(x_{1}, y_{1})

ke garis ax + by + c = 0 adalah

d = \frac{{ax}_{1} + {by}_{1} + c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Jarak dari pusat T

(3, - 4)

ke garis 4x - 3y - 49 = 0 adalah jari-jari lingkaran, yaitu

r = \frac{4.3 - 3 (- 4) - 49}{\sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{12 + 12 - 49}{5} = 5

Jadi, persamaan lingkarannya adalah

{(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25 .

Anda telah mempelajari persamaan lingkaran
yang berpusat di titik T

(a, b)

dengan jari-jari r, yaitu

{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}

Jika perseman tersebut diuraikan maka diperoleh

\begin{array}{l} x^{2} - 2 ax + a^{2} + y^{2} - 2 by + b^{2} = r^{2} \\ x^{2} + y^{2} - 2 ax - 2 by + (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0 \end{array}

Dengan A = -2a; B = -2b; dan C =

(a^{2} + b^{2} - r^{2})

; A,B, dan C bilangan real. Jadi,

x^{2} + y^{2} + Ax + By + C = 0

adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T

(a, b)

dengan jari-jari A = -2a; B = -2b; dan C =

(a^{2} + b^{2} - r^{2})

; A,B, dan C bilangan real.